미적분 공식

미적분

목차

• • 목차
  • 역쌍곡선
    • • 역쌍곡선 함수
      • 역쌍곡선 함수의 미분
  • 쌍곡선 함수
  • 특수값
  • 도형
    • • 호
      • 원
      • 구
      • 원뿔
  • 역삼각 함수
  • 삼각함수와 역삼각함수
  • 역삼각함수의 미분
  • 점과 직선사이의 거리
    • • • (tips) 원래 함수가 증가함수이면 역함수도 증가함수
  • 삼각함수의 합성

역쌍곡선

역쌍곡선 함수

$\sinh^{-1}$	조건
$=\ln(x + \sqrt{x^2+1})$	$(-\infty < x < \infty)$

||조건

$\cosh^{-1}=\ln(x + \sqrt{x^2-1})$

$$\tanh^{-1}=\frac{1}{2} \times\ln(\frac{1+x}{1-x})$$

역쌍곡선 함수의 미분

$y=\sinh^{-1} \to y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$y=\cosh^{-1} \to y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$y=\tanh^{-1} \to y^{\prime}=\frac{1}{1-x^2}$

쌍곡선 함수

$$\cosh^2x - \sinh^2x=1$$

$$1 - \tanh^2x = \mathrm{sech}^2x$$

$$1-\coth^2x = -\mathrm{csch}^2x$$

특수값

$$\mathrm{e} = 2.7 \dots$$

$$\pi=3.14\dots$$

$$\sqrt{2}=1.4\dots$$

도형

호

부호	식
$s$(면적)	$\frac{1}{2}\theta r^2$
$l$(호의 길이)	$\theta r$

원

부호	식
$s$(면)	$\pi r^2$
$l$(둘레)	$2\pi r$

구

부호	식
$v$(부피)	$\frac{4}{3}\pi r^3$
$s$(겉넓이)	$4\pi r^2$

원뿔

부호	식
$v$(부피)	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$

역삼각 함수

$$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$$

$$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$$

$$\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}$$

삼각함수와 역삼각함수

$$\sin^{-1}(\cos x) = \frac{\pi}{2} - x$$

$$\cos x = sin(\frac{\pi}{2}-x)$$

역삼각함수의 미분

$$y=\sin^{-1} \to y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$y=\cos^{-1} \to y^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$y=\tan^{-1} \to y^{\prime}=\frac{1}{{1+x^2}}$$

점과 직선사이의 거리

점 : ($x_1$, $y_1$)
직선 : $ax + bx + c = 0$

$$d = \frac{\mid ax_1 + by_1 + c\mid}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

(tips) 원래 함수가 증가함수이면 역함수도 증가함수

삼각함수의 합성

$a\sin A + b \cos A = \sqrt{a^2 + b^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin A + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos A$

(단, $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\theta$, $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\theta$)